The tradition has persisted for the better part of a century.

the 是定冠词，在这里特指"这个传统"。 better 在这里不是"更好"的意思，而是作为形容词表示"较大的"或"较多的"。 part 指"部分"或"份额"。 of 是介词，表示所属关系。 the better part of 是一个固定短语，意思是"大部分"或"将近"，用来表示时间或数量上的大部分。