The Academy provided nothing whatsoever by way of entertainment.

by 在这里表示"通过某种方式"。 way 的意思是"方式、方法"。 of 在这里表示所属关系，连接前面的名词短语。 by way of 是一个固定短语，意思是"作为...的方式"或"以...的形式"，在这里指"作为娱乐活动的形式"。