He told me that he hopes that someday we could have a boyfriend-girlfriend relationship for real.

relationship 是名词，由 relate（关联、联系）加上后缀 -ion（表示状态或行为）构成，再加上 -ship（表示关系或状态）构成。这个词指的是"关系、关联"，在这里特指"恋爱关系"。