Taking care of a newborn had us running around non-stop.

running 是动词 run 的现在分词形式，run 本意是"跑"，在这里表示"忙碌、奔波"的状态。 around 是副词，表示"到处、四处"的意思，用来描述动作的范围。 running around 这个短语组合起来表示"四处奔忙、忙得团团转"的状态，形象地描绘出照顾新生儿时手忙脚乱的情形。