She turned away before I could catch her eye.

catch 是动词，意思是"抓住、捕捉"，在这里引申为"吸引、引起"。 her 是代词 she 的所有格形式，表示"她的"。 eye 是名词，意思是"眼睛"，在这里指"注意力"。 catch her eye 是一个固定短语，意思是"引起她的注意"或"吸引她的目光"。