He might resign or be reassigned, but either way, his career here is finished.

either 在这里是代词，表示"两者中的任何一个"。 way 在这里指"方式、途径"，引申为"情况、结果"。 either way 是一个固定短语，字面意思是"两种方式中的任何一种"，引申为"无论哪种情况/结果"，即"不管怎样"。