During the boring lecture, I could hear my neighbor sighing under your breath.

under 表示"在...之下"，这里指声音很小，几乎听不见。 your 是"你的"的意思，但在固定搭配中常泛指某人的。 breath 指"呼吸、气息"。 under your breath 是固定短语，意思是"压低声音、轻声地"，形容说话或叹气时声音很小。