The number of people claiming unemployment benefits has risen sharply this month.

claiming 是动词 claim 的现在分词形式。claim 的意思是"声称、要求、索取"，这里指"申请（福利或救济金）"。现在分词形式在这里作后置定语，修饰前面的名词 people，表示"正在申请失业救济金的人们"。