I asked my neighbour to keep an eye on my house during my holiday.

keep 的基本意思是"保持、维持"，在这里表示"持续某种状态"。 an 是不定冠词，表示"一个"。 eye 的本义是"眼睛"，这里用其引申义"注意、关注"。 on 是介词，表示"在...之上"或"关于"。 keep an eye on 是一个固定短语，意思是"照看、留意"，表示持续关注某事物。