You could stay at home or travel abroad for the holidays, but either way, I hope you have a great time.

either 的意思是"两者中的任意一个"。 way 在这里指"方式、选择、途径"。 either way 是一个固定搭配，意思是"无论哪种方式/选择"，表示在两种可能性中不论发生哪一种情况都适用。