Having finally solved the difficult problem, he is bursting with confidence.

is 是 be 动词的第三人称单数现在时形式，表示状态或存在。 bursting 是动词 burst 的现在分词形式，burst 本意是"爆发、炸开"，这里表示"充满"的状态。 with 是介词，表示伴随或具有某种状态。 bursting with confidence 这个短语字面意思是"自信满到要溢出来"，用来形容一个人充满自信的状态。