I'm writing to talk you into taking part in the International Camp.

talk 的意思是"谈话、交谈"，在这里用作动词。 into 是介词，表示"进入...状态"，在这里与 talk 搭配使用。 talk into 是一个固定短语，意思是"说服某人做某事"，通过谈话的方式让对方接受某个观点或行动。