It was with a heavy heart that he packed his bags and left his home of many years.

with 在这里表示"带着、怀着"某种情绪或状态。 a 是不定冠词，表示"一个"。 heavy 本义是"重的"，在这里比喻心情"沉重的"。 heart 本义是"心脏"，常用来比喻"心情、情感"。 with a heavy heart 是一个固定短语，意思是"怀着沉重的心情"，形容人做某事时感到悲伤或不舍。