I started to clear the table with a heavy heart, feeling very anxious about the future.

with 在这里表示"带着、怀着"某种心情或状态。 a 是不定冠词，表示"一个"或"某种"。 heavy 本义是"重的"，在这里比喻心情"沉重的"。 heart 本义是"心脏"，引申为"心情、情感"。 a heavy heart 是固定搭配，表示"沉重的心情"，指因担忧或悲伤而感到心情压抑。