If we cast your mind back, you might recall that I never promised to go.

cast 在这里是动词，意思是"投掷、投射"，引申为"使...转向某个方向"。 your 是代词"你的"的所有格形式。 mind 指"思想、记忆"，在这里特指"回忆的能力"。 cast your mind back 是一个固定短语，字面意思是"把你的记忆投射回去"，实际含义是"试着回想"。