She focused solely on her career at the expense of her personal relationships.

at 是介词，在这里表示"在...方面"或"以...为代价"。 the 是定冠词，在这里特指后面提到的"expense"。 expense 是名词，意思是"花费、代价"，这里指"牺牲、损失"。 of 是介词，表示所属关系，连接"expense"和"personal relationships"。 at the expense of 是一个固定短语，意思是"以...为代价"，表示为了获得某物而牺牲另一物。