My parents grew up in the sixties and love telling stories about that era.

the 是定冠词，在这里特指"20世纪60年代"这个特定的年代。 sixties 是 sixty（六十）的复数形式，在这里指"60年代"，即1960-1969年这段时期。英语中常用"the + 几十的复数"来表示某个特定的年代。