Students learned of the center by word of mouth.

by 是介词，表示"通过某种方式"。 word 的意思是"词语、话语"。 of 是介词，表示所属关系。 mouth 的意思是"嘴巴"，在这里指"口头表达"。 word of mouth 是一个固定短语，字面意思是"嘴巴说的话"，实际指"口头传播、口耳相传"的方式。