However, I do hope that you will settle this matter to everybody's satisfaction within a couple of days.

to 在这里是介词，表示"达到某种状态或结果"。 everybody's 是 everybody 的所有格形式，everybody 意思是"每个人"，加上 's 表示"每个人的"。 satisfaction 是名词，来自动词 satisfy（使满意），意思是"满意、满足"。 to everybody's satisfaction 这个短语表示"达到让每个人都满意的程度"。