The accident was caused by carelessness on the instructor's part.

on 在这里表示"关于、在...方面"，用于指出责任或原因所在的部分。 part 的意思是"部分、角色"，指某人在某事中承担的角色或责任。 on the instructor's part 这个短语表示"在指导员这方面"，即"由于指导员的(责任)"。