I had to give a speech on short notice.

on 在这里表示"关于、涉及"，指演讲的主题或内容。 short 的意思是"短的、短暂的"，表示时间或距离上的短暂。 notice 在这里指"通知、预先告知"，通常指正式或官方的通知。 on short notice 是一个固定短语，意思是"在短时间内接到通知后(做某事)"，强调准备时间很仓促。