I ran after her and managed to catch up with her.

catch 的基本意思是"抓住、捕捉"，在这里表示"赶上"的动作。 up 是副词，表示"向上、完全"等意思，在这里与 catch 搭配表示"赶上、追上"。 catch up with 是一个短语动词，意思是"赶上、追上某人"，表示从落后状态达到与对方相同的进度或位置。