By the time we left, she had bought up half of the shop.

up 在这里是副词，与动词 buy 搭配使用。buy up 这个短语动词的意思是"大量购买"或"全部买下"，通常指购买大量或全部可用的商品或物品。在这个短语中，up 加强了 buy 的动作，表示购买行为的彻底性或完全性。