We're seeing Paul the Saturday after next.

the 是定冠词，在这里特指某个特定的周六。 Saturday 是名词，指"星期六"。 after 是介词，表示"在...之后"。 next 是形容词，表示"下一个的"。 Saturday after next 是一个固定表达，字面意思是"下一个周六之后的那一周"，即"下下周六"。