In spite of his criminal background, she still trusted him.

criminal 是名词 crime（犯罪）的形容词形式，后缀 -al 表示"与...有关的"，所以 criminal 意思是"犯罪的、刑事的"。 criminal background 指"犯罪记录、犯罪前科"，即某人曾经有过违法犯罪行为的历史。