For those without family support, at best they end up in a state-run care facility.

at 在这里是介词，表示"在...方面"或"处于...状态"。 best 是形容词 good 的最高级形式，意思是"最好的"。 at best 是一个固定短语，意思是"往最好处想"或"充其量"，表示从最乐观的角度来看待某种情况。