It was really a remarkable experience being able to live with a caring family like yours.

caring 是动词 care（关心、照顾）的现在分词形式，在这里用作形容词，表示"关心他人的、有爱心的"。care 本身表示"关心、照料"的意思，加上-ing 后缀后变成形容词，描述"表现出关心和爱护的"特质。