He presented each guest with a book of his poems, with the compliments of the author.

with 在这里表示"伴随、带有"的意思，引出赠送时的状态。 the 是定冠词，特指后面提到的"compliments of the author"这一具体内容。 compliments 是名词，来自动词 compliment（称赞、致意），这里指"赠言、致意"。 of 表示所属关系，"作者的"。 with the compliments of the author 是一个固定搭配，意思是"作者敬赠"，常用于签名赠书时表示这是作者亲自赠送的。