The detective was obsessed by the unsolved case.

was 是 be 动词的过去式，表示被动语态中的助动词。 obsessed 是动词 obsess 的过去分词形式，意思是"着迷的、痴迷的"，常用来形容被某事强烈吸引或困扰的状态。 by 在这里表示被动动作的执行者，引出使侦探困扰的对象。 was obsessed by 这个被动结构表示"被...所困扰/着迷"，强调侦探被案件深深困扰的状态。