The small startup succeeded against all odds and became a market leader.

against 在这里表示"对抗、反对"的意思，指面对某种不利情况。 all 是"全部、所有"的意思，在这里强调范围的全面性。 odds 本意是"可能性、几率"，在这里指"困难、不利条件"。 against all odds 是一个固定短语，意思是"尽管困难重重、在极其不利的情况下"，强调克服了看似不可能战胜的困难。