The hotel offered a free spa treatment with the compliments of the management.

with 在这里表示"伴随、附带"的意思，指水疗服务是伴随着某种东西提供的。 the 是定冠词，特指后面提到的"compliments of the management"。 compliments 是名词，意思是"敬意、问候"，通常用于正式场合表达善意或赞赏。 of 表示所属关系，连接 compliments 和 the management，说明这些敬意来自管理层。 with the compliments of 是一个固定短语，意思是"由...敬赠/免费提供"，常用于表示某物是免费赠送的，带有赠送方的敬意。