I came down with a bad cold last week.

came 是动词 come 的过去式，表示"来、到达"的动作。 down 在这里表示"向下"的状态，引申为"身体状态下降"。 with 表示伴随状态，在这里指"伴随着某种疾病"。 came down with 是一个固定短语，意思是"患上(某种疾病)"，通常指突然生病的情况。