She was holding back her tears and swallowing her pride just for the benefit of her daughters.

swallowing 是动词 swallow 的现在分词形式，swallow 本意是"吞咽"，这里用作比喻意义表示"忍住、抑制（情感）"。 swallow one's pride 的意思是"放下自尊、忍辱负重"，即为了更重要的目的而暂时舍弃自己的骄傲。