Was I obliged to leave her to live such a lie and back her husband up in the double life he was living?

back 在这里是动词，意思是"支持"或"帮助"。 up 是副词，与动词 back 搭配使用，表示"完全地"或"彻底地"。 back up 这个短语动词的意思是"支持"或"为...提供支持"，在这里指支持她丈夫的双重生活。