He finished his meal with a complimentary drink with the compliments of the house.

with 是介词，表示"伴随、带有"的意思。 the 是定冠词，特指某事物。 compliments 是名词 compliment 的复数形式，意思是"赞美、恭维"，在这里指"赠品、免费赠送的东西"。 of 是介词，表示所属关系。 with the compliments of the house 是一个固定短语，字面意思是"带着餐厅的赠品"，实际指"餐厅免费赠送的(食物或饮料)"。