After running up against a lot of difficulties we managed to reach our hotel.

running 是动词 run 的现在分词形式，run 的基本意思是"跑"，但在这里是比喻用法。 up 在这里是副词，表示"向上"或"完全"的意思，常与动词搭配使用。 against 是介词，意思是"反对""对抗"或"与...相抵触"。 running up against 是一个固定短语，意思是"遇到""遭遇"（困难或障碍），形象地描述了像跑步时突然撞上障碍物一样遇到困难的情形。