The investigation must be conducted thoroughly and its conclusions presented to the public's satisfaction.

to 是介词，在这里表示"达到某种状态或标准"。 the 是定冠词，特指"公众"这个群体。 public's 是名词 public（公众）的所有格形式，表示"公众的"。 satisfaction 是名词，来自动词 satisfy（使满意），意思是"满意、满足"。 to the public's satisfaction 这个短语表示"达到公众满意的程度/标准"。