I would like to do this on condition that you will not mention my name on the website.

on 在这里是介词，表示"基于"或"在...基础上"。 condition 是名词，意思是"条件、要求"。 that 在这里引导同位语从句，具体说明 condition 的内容。 on condition that 是一个固定搭配，表示"以...为条件"，相当于"只要..."的意思。